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    高中数学教案

    来源:书业网 时间:2016-01-06

    高中数学教案

    课题:函数的单调性

    课 型 新授课 课 时 1 课时

    教学目标

    知识目标 理解增函数、减函数的概念;

    能力目标 1.掌握判断和证明某些函数增、减性的方法;

    2.培养学生观察、比较、分析的能力;

    3.增强数形结合的意识与能力;

    德育目标 熟悉从感性认识到理性认识,从具体到抽象的研究问题的方法。

    教材内容要求分解表

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    教学重点 《教学论》中指出了教科书中现有理论知识,要有应用的技能、技巧,教材的内容、要有反映生活、建设上的实际材料。这一准则对数学教学尤其重要。函数的单调性是函数的重要性质之一,也有广泛的应用。但因这节课为新授课,不宜过于深入,点到为止,因而单调性的相关概念是重点。

    教学难点 利用概念证明或判断函数的单调性

    学法指导 1. 理解和掌握函数的单调性的相关概念

    2. 由于图象法是认识函数性质的重要方法,也是记忆和掌握函数性质的有效

    工具。掌握下表内容,有助于提高研究函数的能力,特别是有助于数形结合思想与方法融会贯通。

    函数图象直观显示函数的性质(部分)

    (1)着重注意从实际出发,从感性认识提高到理性认识 (2)注重运用对比的方法和及时利用反馈信息纠错与强化 (3)坚持结合直观图形或函数图象来说明和帮助学生理解概念

    (4)充分利用电脑与几何画板等辅助作用,增强教学效果。

    教 学 流 程 设 计

    开始

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    教学用具 多媒体、实物投影仪、CAI课件、几何画板软件 教学过程

    一.新课引入:

    日常生活中,我们有过这样的体验:从阶梯教室前向后走,逐步上升,从从阶梯教室后向前走,逐步下降;上下楼梯也是一样

    很多函数也具有类似性质。如(学生在电脑上用几何画板画出图象):

    y=3x+2 y=1/x (x>0)

    图一 图二

    从左往右看,函数的图象逐步上升(图一)或逐步下降(图二),这就是我们要研究的函数的重要性质之一:函数的单调性(电脑给出课题、教学目标) 二.新授课 1. 先由学生结合图象猜想函数的单调性的定义,然后纠错补充再让学生阅读书上从P58到P59的例1以上的部分。

    书上通过两个函数y=x3(图三) 、y=x2(图四)的图象(学生用电脑画出)

    图三 图四

    说明某些函数在定义域内的某些区间上的 y取值随着x的值增大而增大,进而抽象出增函数、减函数的定义(大屏幕显示):增函数、减函数的定义

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    如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,1 )<f(x2 )

    如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1 )>f(x2 ),那么就说函数 f ( x ) 在这个区间上是减函数。

    让学生分析定义的特点: (1) 自变量属于定义域 (2) 自变量x1、x2的任意性

    (3) 都有f(x1 )>f(x2 ) 或f(x1 )<f(x2 )成立

    (4) 函数的单调性是函数在其某个区间上的局部性质

    为了让学生更直观地看出增、减函数定义的内涵,用电脑演示动画。

    用《几何画板》演示:在函数y=x2、y= x3的图象上,当x增大时,y的增、减情况。其中函数y= x3的图象学生比较陌生,所以当堂用《几何画板》画出,并让学生熟悉用描点法作函数图象的过程。

    从上述过程中概括出单调性、单调区间的概念:

    如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做y=f(x)的单调区间 。

    2. 学生阅读书上P59. 例1,回答该函数的单调区间。 思考:该函数在其定义域上有单调性吗?

    注意:我们生活中的很多实际问题的函数图象不象函数y=x2、y= x3的图象一样有规律地上升或下降,如我国的人口出生率变化曲线(如下图五,教材P.53),但是我们可以很方便地从图象观察函数在哪个区间是递增或递减,从而确定其单调区间。

    图五

    要了解函数在某些区间上是否具有单调性,从图象上进行观察是一种常用而又较为粗略的方法,严格的说,它要根据单调函数的定义进行证明。

    阅读书上P59. 例2、例3,然后与学生一起总结出(大屏幕显示): (ⅰ)判断函数单调性的方法:

    (1)用图象;(2)用定义;(3)其它(后面会学到)。

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    (ⅱ)证明函数单调性的方法:目前只能用定义,解题步骤如下 (1) 取值

    (2) 作差变形(主要是配方或分解因式等) (3) 定号

    (4) 判断结论

    分析各个步骤的含义,利用这个结论,学生练习(电脑给出): P60练习1、2题 3. 深化提高例选

    例4:证明函数f(x)= x3在R上是增函数.

    证明:设x1、x2是R上的任意两个实数,且x1<x2 ,则f(x1)?f(x2)=x13?x23=(x1?x2)(x12+x1x2+x22)

    因为 x1<x2 所以 x1?x2 <0

    又因为 x12+x1x2+x22=(x1+所以 f(x1)?f(x2)<0

    12

    x2)2+

    34

    x22>0

    即 f(x1)<f(x2)

    所以 f(x)= x3在R上是增函数.

    图六

    注:先让学生思考、解答,然后选有代表性的几种方法,用实物投影仪向学生展示,与学生一起讨论,判断解法的对错与优劣。

    然后用电脑给出上述示范过程(其中判断x12+x1x2+x22的符号还有其它方法)。 思考:能不能说从图六可以看出,函数f(x)= x3在R上是增函数 ?

    回答:不能,图象只能用来判断函数的单调性,证明目前只能用定义。 4. 学生分组练习书上习题: A组 P60.3 B组 P64.4(2) C组 p65.6(1)

    思考题(电脑给出):判断函数f(x) =

    x

    在(-?,0)?(0,+?)上的单调性。 (参考右图七)

    思考:该函数在其定义域上有单调性吗?

    图七

    5. 单调性在生活中应用举例:

    函数的单调性在生活中应用很广泛,如从前述图五的我国人口出生率曲线,我们可以直观的看到我国人口出生的变化情况;又如股票价格线性图(电脑给出图八:春兰股份线性图),使人对股票价格的涨落情况一目了然。

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    图八

    三.小结:本节课重点要理解函数单调性及相关概念,掌握函数单调性的判断与证

    明方法与步骤;通过学习,增强数形结合的意识与能力,学会从感性到理性,从具体到抽象的研究问题的方法。

    四.作业:书P64习题2.3中,第1、2、3、5题

    五.板书设计:

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    六.

    参考文献:

    全日制普通高级中学教科书(试验修订本 必修),《数学》第一册上P58?P65

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